绝对值极限问题：已知lim(x->0)f(x)=A,那么lim(x->0)|f(x)|=|A|吗?如果是,麻烦用极限定义

绝对值极限问题：已知lim(x->0)f(x)=A,那么lim(x->0)|f(x)|=|A|吗?如果是,麻烦用极限定义进行证明,如果不成立也请给出反例,
蜗牛是001 1年前 已收到1个回答 举报
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simma30 幼苗

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这个结论是正确的,证明的关键是利用绝对值不等式||a|-|b||≤|a-b|,证明如下：
由于lim(x->0)f(x)=A,根据函数极限的定义,可知对任意ε,存在δ使得当|x|

1年前 追问

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蜗牛是001 举报

||a|-|b||≤|a-b| 这个不等式如何证明呢

举报 simma30

由于-|a|≤a≤|a|，-|b|≤b≤|b|，所以-|a|-|b|≤a+b≤|a|+|b|，即|a+b|≤|a|+|b|，利用这个不等式， |a|=|a-b+b|≤|a-b|+|b|，即|a|-|b|≤|a-b|，同理|b|-|a|≤|b-a|=|a-b|，所以-|a-b|≤|a|-|b|≤|a-b|，即 ||a|-|b||≤|a-b|。
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