已知函数f（x）=lnx，g（x）=[1/2]ax2-2x．

（1）y=f（x）-g（x）=lnx-[1/2]ax²+2x，记h（x）=lnx-[1/2]ax²+2x，
则h′（x）=[1/x]-ax+2…（2分）
∵依题意h（x）在x=1与x=[1/2]处的切线互相平行，
∴h′（1）=h′（[1/2]），即-a+3=-[a/2]+4，解得a=-2…（3分）
此时切线斜率k=h'（1）=5…（4分）
（2）∵函数y=f（x）-g（x）在区间（[1/3]，1）上单调递减，
∴h′（x）≤0在区间（[1/3]，1）上恒成立；…（5分）
即[1/x]-ax+2≤0，即a≥[1
x2+
2/x]在区间（[1/3]，1）上恒成立；…（6分）
∴a≥（[1
x2+
2/x]）_max，
∵x∈（[1/3]，1），∴[1/x]∈（1，3），
∴[1
x2+
2/x]=(
1
x+1)2−1≤15，
∴a≥15，
即a的取值范围是[15，+∞）．…（8分）
（3）证明：f′（x）=[1/x]，g′（x）=ax-2，假设C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行，
设点P、Q的坐标分别是（x₁，y₁），（x₂，y₂），x₁＞x₂，＞0，
则存在a使得f′（
x1+x2
2）=g′（
x1+x2
2），
即[2
x1+x2=
a/2]（x₁+x₂）-2，…（9分）
∴

点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查导数的几何意义，考查导数是运算，以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力．