海底大精灵 幼苗
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sin
| ||
x |
由题意知:
∵当0≤x≤1时 sin
πx
2≥kx
(1)当x=0时,不等式sin
πx
2≥kx恒成立 k∈R
(2)当0<x≤1时,不等式sin
πx
2≥kx可化为
k≤
sin
πx
2
x
要使不等式k≤
sin
πx
2
x恒成立,则k≤(
sin
πx
2
x)min成立
令f(x)=
sin
πx
2
x x∈(0,1]
即f'(x)=
π
2xcos
πx
2 −sin
πx
2
x2 再令g(x)=[π/2 xcos
πx
2−sin
πx
2]
g'(x)=-
π2
4xsin
πx
2
∵当0<x≤1时,g'(x)<0
∴g(x)为单调递减函数
∴g(x)<g(0)=0
∴f'(x)<0
即函数f(x)为单调递减函数
所以 f(x)min=f(1)=1即k≤1
综上所述,由(1)(2)得 k≤1
故此题答案为 k∈(-∞,1].
点评:
本题考点: 函数恒成立问题;利用导数求闭区间上函数的最值.
考点点评: 本题主要考查利用导数求函数的最值,属于中档题型.
1年前
你能帮帮他们吗