平面内有四个点O、A、B、C，记OA=a，OB=b，OC=c，向量a、b、c 满足a+b+λc=0，其中λ为实
平面内有四个点O、A、B、C，记
=
，
=
，
=
，向量
、
、
满足
+
+λ
=0，其中λ为实数．
（1）若点C是线段AB的中点，求λ的值；
（2）当λ=1时，且
•
=
•
=
•
=-1，试判断△ABC的形状．
| OA |
| a |
| OB |
| b |
| OC |
| c |
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
（1）若点C是线段AB的中点，求λ的值；
（2）当λ=1时，且
| a |
| b |
| b |
| c |
| c |
| a |
赞 东方不改 幼苗
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解题思路：（1）利用向量的中点坐标公式即可求出；
（2）利用已知条件和向量的运算先证明
，
，
的模相等，再利用三角形的全等即可得到三角形的形状．
（2）利用已知条件和向量的运算先证明
| a |
| b |
| c |
（1）∵点C是线段AB的中点，∴
OC＝
1
2(
OA+
OB)，∴
a+
b−2
c＝
0，又
a+
b+λ
c＝
0，∴λ=-2．
（2）当λ=1时，则
a+
b+
c＝
0，∴
b＝−(
a+
c)．
∵
a•
b＝
b•
c，∴
b•(
a−
c)＝0，∴−(
a+
c)•(
a−
c)＝0，∴
a2＝
c2，∴|
a|＝|
c|．
同理|
b|＝|
c|．
由
a•
b＝
b•
c＝
c•
a＝−1得＜
a，
b＞＝＜
b，
c＞=＜
c，
a＞，
∴△OAB≌△OBC≌OCA，∴AB=BC=CA．
∴△ABC是等边三角形．
点评：
本题考点： 平面向量的综合题；三角形的形状判断．
考点点评： 熟练掌握向量的中点坐标公式、向量的线性运算性质及其模的计算公式、三角形全等的判定是解题的关键．
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