如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，中线BE、CD相交于点O，点F、G分别是OB、OC的中点．

证明：（1）∵BE、CD是中线，
∴D、E是两边的中点．
∴DE∥BC且DE=[1/2]BC．（1分）
又∵点F、G分别是OB、OC的中点，
∴FG∥BC且FG=[1/2]BC．
∴DE∥FG且DE=FG．
∴四边形DFGE是平行四边形．（1分）

（2）成立．（1分）

（3）如图，当AB=AC时，四边形DFGE是矩形（1分）
作AH⊥BC，如图所示，
∵AB=AC，AH⊥BC
∴AH是BC边的中线，
又∵BE、CD是中线，
∴AH必过点O．（三角形三条中线相交于一点）（1分）
∵DF为△ABO的中位线，
∴DF∥AO，即DF∥AH，
又∵FG为△BCO的中位线，
∴FG∥BC，
又∵FG∥BC，AH⊥BC，
∴AH⊥FG．
∴∠DFG=90度．
又∵四边形DFGE是平行四边形，
∴四边形DFGE是矩形．（1分）

（4）拖动点A，存在四边形DFGE是正方形或菱形，如图所示．（1分）

点评：
本题考点： 矩形的判定；等腰三角形的性质；三角形中位线定理；矩形的性质．

考点点评： 本题利用了三角形的中位线的性质，等腰三角形的性质求解．同时此题是一道几何结论动态题，可以大大激发学生的思考兴趣，拓展学生的思维空间，培养学生求异、求变的创新精神．