已知函数f（x）=x|x-a|-lnx．

解题思路：（1）当a=1时，利用导数可判断f（x）在[1，e]上的单调性，由单调性即可求得其最大值；
（2）求出f（x）的定义域，先按（ⅰ）a≤0，（ⅱ）a＞0两种情况进行讨论，其中a＞0时讨论去绝对值符号，利用导数符号即可判断单调性；
（3）函数f（x）的定义域为x∈（0，+∞），f（x）＞0，即|x−a|＞

lnx

x

．根据[lnx/x]的符号对x进行分类讨论：x∈（0，1）时，当x=1时，当x＞1时，其中x＞1时去掉绝对值符号转化为求函数最值即可解决．

（1）若a=1，则f（x）=x|x-1|-lnx．
当x∈[1，e]时，f（x）=x²-x-lnx，
f′(x)＝2x−1−
1
x＝
2x2−x−1
x＞0，
所以f（x）在[1，e]上单调增，
∴f(x)max＝f(e)＝e2−e−1．
（2）由于f（x）=x|x-a|-lnx，x∈（0，+∞）．
（ⅰ）当a≤0时，则f（x）=x²-ax-lnx，
f′(x)＝2x−a−
1
x＝
2x2−ax−1
x，
令f′（x）=0，得x0＝
a+
a2+8
4＞0（负根舍去），
且当x∈（0，x₀）时，f′（x）＜0；当x∈（x₀，+∞）时，f′（x）＞0，
所以f（x）在(0，
a+
a2+8
4)上单调递减，在(
a+
a2+8
4，+∞)上单调递增．
（ⅱ）当a＞0时，
①当x≥a时，f′(x)＝2x−a−
1
x＝
2x2−ax−1
x，
令f′（x）=0，得x1＝
a+
a2+8
4（x＝

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．

考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值及函数恒成立问题，考查分类讨论思想，考查学生分析问题解决问题的能力，综合性强，难度大，对能力要求较高．