如图，已知直线l1：y=2x+m（m＜0）与抛物线C1：y=ax2（a＞0）和圆C2：x2+（y+1）2=5都相切，F是
如图，已知直线l1：y=2x+m（m＜0）与抛物线C1：y=ax2（a＞0）和圆C2：x2+（y+1）2=5都相切，F是C1的焦点．（1）求m与a的值；
（2）设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线l，直线l交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；
（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF交抛物线C1于P，Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围．
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解题思路：（1）利用圆心到直线的距离等于半径求出m，再利用导函数与切线的关系求出a的值即可．
（2）先求出以A为切点的切线l的方程以及点A，B的表达式，再利用以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，结合向量运算即可求出点M所在的定直线．
（3）设直线MF：y=kx+[3/2]，代入y=
x2得：
x2−kx−
＝0，结合根与系数的关系及三角形面积公式得出面积的表达式，最后利用函数思想即可求得△NPQ的面积S的取值范围．
（2）先求出以A为切点的切线l的方程以及点A，B的表达式，再利用以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，结合向量运算即可求出点M所在的定直线．
（3）设直线MF：y=kx+[3/2]，代入y=
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（1）由已知，圆C2：x2+（y+1）2=5的圆心为C2（0，-1），半径 r＝
5．（1分）
由题设圆心到直线l1：y=2x+m的距离 d＝
|1+m|
22+(−1)2．（3分）
即
|1+m|
22+(−1)2＝
5，
解得m=-6（m=4舍去）．（4分）
设l1与抛物线的相切点为A0（x0，y0），又y′=2ax，（5分）
得 2ax0＝2⇒x0＝
1
a，y0＝
1
a．（6分）
代入直线方程得：[1/a＝
2
a−6，∴a＝
1
6]
所以m=-6，a＝
1
6．（7分）
（2）由（1）知抛物线C1方程为 y＝
1
6x2，焦点 F(0，
3
2)．（8分）
设 A(x1，
1
6
x21)，由（1）知以A为切点的切线l的方程为 y＝
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；直线与圆的位置关系．
考点点评： 本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．本题用的是第一种
1年前
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1年前1个回答
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