数学课堂上,陈老师出示一道试题:
数学课堂上,陈老师出示一道试题:
如图1所示,在正三角形ABC中,M是BC边(不含端点B、C)上任意一点,P是BC延长线上一点,N是∠ACP的平分线上一点.若∠AMN=60°,求证:AM=MN.
(1)经过思考,小明展示了一种正确的证明过程.请你将证明过程补充完整.
证明:在AB上截取EA=MC,连接EM,得△AEM.
∵∠1=180°-∠AMB-∠AMN,∠2=180°-∠AMB-∠B,∠AMN=∠B=60°,
∴∠1=∠2.又CN平分∠ACP,∠4=[1/2]∠ACP=60°,∴∠MCN=∠3+∠4=120°.①
又∵BA=BC,EA=MC,∴BA-EA=BC-MC,即BE=BM.∴△BEM为等边三角形.∴∠6=60°.
∴∠5=180°-∠6=120°.②
∴由①②得∠MCN=∠5.
在△AEM和△MCN中,______,______,______,
∴△AEM≌△MCN(ASA).∴AM=MN.
(2)若将试题中的“正三角形ABC”改为“正方形A
1B
1C
1D
1”(正方形四条边都相等、四个角都是直角)(如图2),N
1是∠D
1C
1P
1的平分线上一点,则当∠A
1M
1N
1=90°时,结论A
1M
1=M
1N
1是否还成立?(写出答案,并仿照(1)证明)