已知直线l1：x+y-3=0与直线l2：x-3y+1=0相交于点C，以C为圆心的圆过点A（0，1）．

解题思路：（1）求出交点，可得C的坐标，求出半径，可得圆C的方程；
（2）分情况讨论，切线斜率存在和不存在两种，当切线斜率存在时，设切线l的方程为：y-5=k（x-4）化为一般式，利用圆心到直线的距离等于半径运算即可；②当切线斜率不存在时，直接检验即可．

（1）由直线l₁：x+y-3=0与直线l₂：x-3y+1=0相交于点C，可得C（2，1），
∵以C为圆心的圆过点A（0，1），
∴圆的半径为2，
∴圆的方程为（x-2）²+（y-1）²=4；
（2）①当切线斜率存在时，设切线l的方程为：y-5=k（x-4）
即：kx-y+5-4k=0
由
|2k-1-4k+5|

1+k2=2得k=[3/4]，
∴切线方程l：3x-4y+8=0
②当切线斜率不存在时，过点P（4，5）的直线为x=4
经检验是圆（x-2）²+（y-1）²=4的切线．
∴切线方程为3x-4y+8=0或x=4．

点评：
本题考点： 圆的切线方程；圆的标准方程．

考点点评： 本题主要考查圆的切线方程，其中根据直线斜率是否存在为分类标准，分别求出圆的切线方程，是解答本题的关键．