（2012•保定一模）已知函数f（x）=ln(x+1)(x+1)2−ax+1−2x，(a＞0)．

（1）∵f(x)＝
ln(x+1)
(x+1)2−
a
x+1−2x，
∴f′(x)＝
(x+1)−2(x+1)ln(x+1)
(x+1)4+
a
(x+1)2−2，
∵f（x）在x=0处取极值，
∴f′（x）=1+a-2=0，
∴a=1，经检验a=1符合题意，
故a=1．
（2）∵函数的定义域为（-1，+∞），且当x=0时，f（0）=-a＜0，
又直线y=-2x恰好过原点，
所以函数y=f（x）的图象应位于区域Ⅲ内，
于是f（x）＜-2x，
即
ln(x+1)
(x+1)2＜
a
x+1，
∵x+1＞0，∴a＞
ln(x+1)
x+1，
令m（x）=
ln(x+1)
x+1，∴m′(x)＝
1−ln(x+1)
(x+1) 2，
令m′（x）=0，得x=e-1，
∵x＞-1，∴x∈（-1，e-1）时，m′（x）＞0，m（x）单调递增，
x∈（e-1，+∞）时，m′（x）＜0，m（x）单调递减．
∴mmax(x)＝m(e−1)＝
1
e，
∴a的取值范围是：a＞
1
e．
（3）由（2）知，函数m（x）=
ln(x+1)
x+1在x∈（e-1，+∞）时单调递减，
∴函数p（x）=
lnx
x在x∈（e，+∞）时，单调递减，
∴
ln(x+1)
x+1＜
lnx
x，∴xln（x+1）＜（x+1）lnx，
∴ln（x+1）^x＜lnx^（x+1），即（x+1）^x＜x^（x+1），
∴令x=2011，则2012²⁰¹¹＜2011²⁰¹²．