（2013•自贡模拟）已知函数f（x）=alnx+[1/x]．

解题思路：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出单调区间以及极值．
（2）将变量a分离出来，转化成使对任意x＞0，只须2a≤f（x）_min，研究f（x）的最小值即可．
（3）利用作差法比较两个数的大小，f（

x1+x2

2

）-

f(x1)+f(x2)

2

化简整理后判定其符号．

由题意x＞0，f′（x）=[a/x−
1
x2]
（1）当a＞0时，由f′（x）＞0得，解得x＞
1
a，
即函数f（x）的单调增区间是(
1
a，+∞)；
由f′（x）＜0得[a/x−
1
x2]＜0，解得x＜
1
a，
即函数f（x）的单调减区间是(0，
1
a)
∴当x=[1/a]时，函数f（x）有极小值，
极小值为f（[1/a]）=aln
1
a+a＝a−alna
（2）当a＞0时，∵对任意x＞0，
均有ax（2-lnx）≤1，即有对任意x＞0，2a≤alnx+
1
x恒成立，
∴对任意x＞0，只须2a≤f（x）_min
由（1）可知，函f（x）的极小值，即为最小值，
∴2a≤f（x）_min=a-alna，，解得0＜a≤
1
e
即a的取值范围为0＜a≤
1
e
（3）f(
x1+x2
2) −
f(x1)+f(x2)
2＝aln
x1+x2
2
x1x2−
(x1−x2) 2
2x1x2(x1+x2)
∵x₁＞0，x₂＞0且x₁≠x₂，a＜0，
∴x₁+x₂＞2

点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及利用导数研究函数的单调性，属于难题．