热传导方程初边值问题求解书上给了一个标准形式的方程的分离变量法求解过程,但是实际上碰到的题目肯定不是标准形式的,比如这道

热传导方程初边值问题求解

书上给了一个标准形式的方程的分离变量法求解过程,但是实际上碰到的题目肯定不是标准形式的,比如这道题,我已经化简了,但是接下去该怎么做就不清楚了,希望您能给出答案同时稍加解释

1stsightlove 1年前已收到1个回答举报

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第一个式子应该是ut-uxx=-2sinx
先求ut-uxx=0的满足BC和IC的通解,你应该知道怎么求（好多书上都有）.
再找一个特解满足稳定方程（即uxx=-2sinx）以及两个BC.解得u=sin((根号2)*x)+ax+b.再用题中的两个BC来确定a和b的值,你应该会求.
于是,最终的解就是第一个的通解加上后面求的特解.

1年前追问

1stsightlove 举报

事实上我发现自己化简有一点问题，最后的边值问题应该都是0的。代入的那一步先不考虑，我现在想知道的是初边值条件都是0的话，这个非齐次的方程该怎么处理

举报 fulin9228

先改正一点，特解应该是u=2sin(x)+ax+b。当BC都变换为0时（此时IC不是0了），那么u的通解的特征函数只有sin(nx)。那么设u=求和符号(1到无穷)Tn(t)*sin(nx),其中Tn(t)未知待定。再将-2sinx扩展为Fourier级数(这个题较简单，因为它本身已经是Fourier级数了)。然后将两者带回原方程ut-uxx=-2sinx，你就能计算出Tn(t)，它会是一组含有参数（比如Cn）的函数。最后用IC将这些Tn中的参数Cn算出来，最终的解也就出来了。

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