如图1所示，已知二次函数y=ax 2 -6ax+c与x轴分别交于点A（2，0）、B（4，0），与y轴交于点C（0，-8t

（1）把点A、C的坐标（2，0）、（0，-8t）代入抛物线y=ax ² -6ax+c得，

4a-12a+c=0
c=-8t ，解得

a=-t
c=-8t ，
该抛物线为y=-tx ² +6tx-8t=-t（x-3） ² +t．
∴顶点D坐标为（3，t）
（2）如图1，设抛物线对称轴与x轴交点为M，则AM=1．
由题意得：O′A=OA=2．
∴O′A=2AM，∴∠O′AM=60°．
∴∠O′AC=∠OAC=60°
∴在Rt△OAC中：
∴OC=
3 •AO=2
3 ，
即 -8t=-2
3 ．
∴ t=

3
4 ．
（3）①如图2所示，设点P是边EF上的任意一点
（不与点E、F重合），连接PM．
∵点E（4，-4）、F（4，-3）与点B（4，0）在一直线上，
点C在y轴上，
∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB．
又PD＞PM＞PB，PA＞PM＞PB，
∴PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD．
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．
②设P是边FG上的任意一点（不与点F、G重合），
∵点F的坐标是（4，-3），点G的坐标是（5，-3）．
∴FB=3， GB=
10 ，∴3≤PB≤
10 ．
∵PC＞4，∴PC＞PB．
∴PB≠PA，PB≠PC．
∴此时线段PA、PB、PC、PD不能构成平行四边形．
（4）t=
3±
2
7 或
1
7 或1．
∵已知PA、PB为平行四边形对边，
∴必有PA=PB．
①假设点P为FG与对称轴交点时，存在一个正数t，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．
如图3所示，只有当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．
∵点C的坐标是（0，-8t），点D的坐标是（3，t），
又点P的坐标是（3，-3），
∴PC ² =3 ² +（-3+8t） ² ，PD ² =（3+t） ² ．
当PC=PD时，有PC ² =PD ²
即3 ² +（-3+8t） ² =（3+t） ² ．
整理得7t ² -6t+1=0，
∴解方程得t=
3±
2
7 ＞0满足题意．
②假设当点P为EH与对称轴交点时，存在一个正数t，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形．
如图4所示，只有当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD
能构成一个平行四边形．
∵点C的坐标是（0，-8t），点D的坐标是（3，t），
点P的坐标是（3，-4），
∴PC ² =3 ² +（-4+8t） ² ，PD ² =（4+t） ² ．
当PC=PD时，有PC ² =PD ²
即3 ² +（-4+8t） ² =（4+t） ²
整理得7t ² -8t+1=0，
∴解方程得t=
1
7 或1均大于＞0满足题意．
综上所述，满足题意的t=
3±
2
7 或
1
7 或1．