已知焦点在x轴上的椭圆C过点（0，1），且c=3b，Q为椭圆C的左顶点．

已知焦点在x轴上的椭圆C过点（0，1），且c=
3
b，Q为椭圆C的左顶点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知过点（-[6/5]，0）的直线l与椭圆C交于A，B两点．
（理）若直线l与x轴不垂直，是否存在直线l使得Delta QAB为等腰三角形？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．
（文）若直线l垂直于x轴，求∠AQB的大小．
guaiguaihui 1年前 已收到1个回答 举报
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鱼点mama 幼苗

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解题思路：（1）设椭圆C的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
＝1，(a＞b＞0)，由已知得a2=b2+c2，b=1，c=
3
b，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）（理）由（1）得Q（-2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l与x轴不垂直时，由题意设直线AB的方程为y=k（x+[6/5]），k≠0，由
y＝k(x+
6
5
)
x2
4
+y2＝1
，得（25+100k2）x2+240k2x+144k2-100=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量数量积，结合已知条件能推导出当直线l与x轴不垂直时，不存在直线l，使得△QAB为等腰三等形．
（2）（文）当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x=-[6/5]，由
x＝−
6
5
x2
4
+y2＝1
，得A（-[6/5，
4
5]），B（−
6
5
，−
4
5
），由此能示出∠AQB＝
π
2
．

（1）设椭圆C的标准方程为
x2
a2+
y2
b2＝1，(a＞b＞0)，且a2=b2+c2，
∵椭圆C过点（0，1），且c=
3b，
∴由题意知b=1，c=
3b，解得a2=4，
∴椭圆C的标准方程为
x2
4+y2＝1．
（2）（理）由（1）得Q（-2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），
当直线l与x轴不垂直时，由题意设直线AB的方程为y=k（x+[6/5]），k≠0，
由

y＝k(x+
6
5)

x2
4+y2＝1，得（25+100k2）x2+240k2x+144k2-100=0，
∵点（-[6/5]，0）在椭圆C的内部，∴△＞0，
x1+x2＝−
240k2
25+100k2，x1x2＝
144k2−100
25+100k

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，考查角的大小的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．

1年前

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