已知圆x2+y2=1,点P在直线l:2x+y-3=0上,过点P作圆O的两条切线,A.B为两切点.求向量PA乘向量PB的最
已知圆x2+y2=1,点P在直线l:2x+y-3=0上,过点P作圆O的两条切线,A.B为两切点.求向量PA乘向量PB的最小值
赞 yarkee 幼苗
共回答了14个问题采纳率：92.9% 举报
PA*PB=|PA|*|PB|*cos∠APB
∠APB=2∠APO=2∠BPO
|PA|=√(PO²+OA²)=√(OP²+1)
|PB|=√(PO²+OA²)=√(OP²+1)
cos∠APB=cos2∠APO=1-2sin²∠APO=1-2(OA/AP)²
=1-2[1/√(OA²+OP²)]²=1-2/(OA²+OP²)=1-2/(1+OP²)
PA*PB=|PA|*|PB|*cos∠APB=√(OP²+1) * √(OP²+1) * [ 1-2/(1+OP²) ]
=1+OP²-2=OP²-1
OP为圆心O到点P的距离,
显然,当OP⊥直线l时,距离OP最短
此时,OP=3/√5
所以,向量PA乘向量PB的最小值=(3/√5)²-1=4/5
∠APB=2∠APO=2∠BPO
|PA|=√(PO²+OA²)=√(OP²+1)
|PB|=√(PO²+OA²)=√(OP²+1)
cos∠APB=cos2∠APO=1-2sin²∠APO=1-2(OA/AP)²
=1-2[1/√(OA²+OP²)]²=1-2/(OA²+OP²)=1-2/(1+OP²)
PA*PB=|PA|*|PB|*cos∠APB=√(OP²+1) * √(OP²+1) * [ 1-2/(1+OP²) ]
=1+OP²-2=OP²-1
OP为圆心O到点P的距离,
显然,当OP⊥直线l时,距离OP最短
此时,OP=3/√5
所以,向量PA乘向量PB的最小值=(3/√5)²-1=4/5
1年前 追问
2
答案是错的。你没看清题意，求它的最小值，肯定是个负值啊（当cosQ为钝角的时候） 但是辛苦你了。答案是-4/45，我记得好像是这个。不确定额、
可能相似的问题
-
1年前1个回答
你能帮帮他们吗