（理）已知f(x)＝x+mx(m∈R)，

解题思路：（1）先求导函数，根据m≤2，可分类讨论：若m≤−

1

4

时，g′(x)≥0，g(x)是[

1

2

，2]上的增函数，所以g(x)min＝g(

1

2

)；若−

1

4

≤m≤2时，由g′（x）=0，得 x1＝

1

2

−

m+ 1 4

＜

1

2

，x2＝

1

2

+

m+ 1 4

∈[

1

2

，2]
从而可知g（x）_min=g（x₂），故可求；
（2）由条件得到在区间上是增函数且f（x）+2＞0在区间[1，+∞）上恒成立，利用分离参数法及函数的单调性可求实数m的取值范围．

（理）（1）g(x)＝x+
m
x−lnx，则g′(x)＝1−
m
x2−
1
x＝
(x−
1
2)2−(m+
1
4)
x2
①若m≤−
1
4时，g′(x)≥0，g(x)是[
1
2，2]上的增函数，
所以g(x)min＝g(
1
2)＝
1
2+2m+ln2
②若−
1
4≤m≤2时，由g′（x）=0
得到 x1＝
1
2−
m+
1
4＜
1
2，x2＝
1
2+
m+
1
4∈[
1
2，2]
且x∈[
1
2，x2]时，g′(x)≤0，x∈[x2，2]时，g'（x）≥0，
所以g(x)min＝g(x2)＝
1
2+
m+
1
4+
m

1
2+
m+
1
4−ln(
1
2+
m+
1
4)=2
m+
1
4−ln(
1
2+
m+
1
4)；
（2）由条件得到在区间上是增函数且f（x）+2＞0在区间[1，+∞）上恒成立，f′(x)＝1−
m
x2≥0⇔m≤x2在区间上恒成立，得到m≤1，
f（x）+2≥0在区间上恒成立，得到f（1）+2＞0，即m＞-3，
所以实数m的取值范围是：（-3，1]

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题以函数为载体，考查利用导数求函数的最值，考查函数的单调性，有一定的综合性．