已知曲线1/3x^3+4/3,当曲线过点P(2,p)的切线有三条,求实数p的取值范围.

目测是曲线y = x³/3+4/3而不是y = 1/(3x³)+4/3.
曲线上x = a处的切线方程为y = a²(x-a)+a³/3+4/3.
与直线x = 2有唯一的交点(2,2a²-2a³/3+4/3).
于是过P(2,p)的切线有三条,当且仅当2x²-2x³/3+4/3 = p有3个不等实根(易验证a不同则切线不同).
设f(x) = 2x²-2x³/3+4/3,则f'(x) = 4x-2x² = -2x(x-2).
f(x)有两个极值点,x = 0与x = 2,分别有f(0) = 4/3,f(2) = 4.
f(x)在(-∞,0)严格单调递减,值域(4/3,+∞);
f(x)在(0,2)严格单调递增,值域(4/3,4);
f(x)在(0,+∞)严格单调递减,值域(-∞,4).
可知f(x) = p有3个不等实根当且仅当4/3 < p < 4.
因此p的取值范围是(4/3,4).

题目有问题吧，曲线过一点只有一条切线