初等数论题目求所有正整数 n,使 7 ^ n | 9 ^ n - 1（n ^ m = n 的 m 次方）.

文澜江边还阳的猪 1年前 已收到4个回答 举报
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clw2005 春芽

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不存在
如果存在的话,原题等价于7^n|(3^n+1)(3^n-1).右边的两个因子只有公因数2,所以如果式子成立必有7^n|3^n+1或3^n-1.一个较小的数整除一个较大的数显然不可能

1年前 追问

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文澜江边还阳的猪 举报

为何 7 ^ n 不整除 3 ^ n + 1 和 3 ^ n - 1 则 7 ^ n 不整除 ( 3 ^ n - 1 )( 3 ^ n + 1 )? 4 与 6 之公因数只有 1、2，8 不整除 4 和 6，但 8 整除 4 * 6 即 24。 只能由 7 ^ n 整除 3 ^ n + 1 和 3 ^ n - 1 中一个或两个式子得到 7 ^ n 整除 ( 3 ^ n - 1 )( 3 ^ n + 1 )，好像不能从 7 ^ n 不整除这两个式子这个结论得出其不整除它们的积。

举报 clw2005

( 3 ^ n - 1 )和( 3 ^ n + 1 )不能同时有公因数7，他俩之差为2，4和6不是互质的 这个条件互质的时候成立。你再想想。这个是初等数论里比较基本的结论

wms317 幼苗

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n个连续整数都是正数时，由组合数必为整数，而从m(m≥n)个元素中取n个元素的组合数=m*(m-1)..（m-n 1）/n!,即证明n个连续整数乘积一定被n!

1年前

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嘿哥哥 幼苗

共回答了9个问题 举报

不存在正整数 n， 7 ^ n | 9 ^ n - 1等价于7^n|(3^n+1)(3^n-1)。一定有 7 ^ n＞3^n+1＞3^n-1，所以7 ^ n不整除3^n+1且7 ^ n不整除3^n-1。那么，一定有7 | 3^n+1，7 | 3^n-1，（此时需要n≥2，n=1代入算就知不成立)。所以7 | 2x3^n，所以7 | 3^n，矛盾，所以不存在正整数 n使 7 ^ n | 9 ^ n ...

1年前

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vod2007517 幼苗

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不存在这样的正整数

1年前

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