（2013•成都一模）已知函数f（x）=2x2x+2，x∈(12，1]-12x+14，x∈[0，12]，g（x）=asi

解题思路：①由于f（x）=

2x2 x+2 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 2 x+ 1 4 ，x∈[0， 1 2 ]

，当[1/2]＜x≤1时，f（x）=2[（x+2）+[4/x+2]]-8，利用双钩型函数h（z）=2（z+[4/z]）-8在z∈（[5/2]，3]上单调递增，可求f（x）的值域为（[1/5]，[2/3]]；当x∈[0，[1/2]]时，利用f（x）=-[1/2]x+[1/4]为减函数，可求f（x）的值域为[0，[1/4]]，从而可判断①的正误；
对于②，可求g（x）=-acos[π/3]x-2a+2（a＞0），由0≤x≤1，可判断y=-cosx在[0，[π/3]]上单调递增，而a＞0，从而可判断函数g（x）在[0，1]上是增函数；
对于③，由g（x）=-acos[π/3]x-2a+2（a＞0）知，2-3a≤-acos[π/3]x-2a+2≤2-[5/2]a，不妨令a=10，可求得g（x）∈（-28，-23），从而可判断③错误；
对于④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则0≤2-3a≤[2/3]或0≤2-[5/2]a≤[2/3]，从而可求得a的范围，可判断其正误．

∵[1/2]＜x≤1时，f（x）=
2x2
x+2=
2[(x+2)-2]2
x+2=2[（x+2）+[4/x+2]]-8
而[5/2]＜x+2≤3，令z=x+2，则z∈（[5/2]，3]，
双钩型函数h（z）=2（z+[4/z]）-8在z∈（[5/2]，3]上单调递增，
∴h（[5/2]）=[41/5]-8=[1/5]，h（z）_max=h（3）=[2/3]，
∴当x∈（[1/2]，1）时，f（x）的值域为（[1/5]，[2/3]]；
当x∈[0，[1/2]]时，f（x）=-[1/2]x+[1/4]为减函数，f（x）的值域为[0，[1/4]]；
∴函数f（x）的值域为[0，[2/3]]，故①正确；
对于②，g（x）=asin（[π/3x+
3π
2]）-2a+2=-acos[π/3]x-2a+2（a＞0），
∵0≤x≤1，
∴0≤[π/3]x≤[π/3]，
∵y=cosx在[0，[π/3]]上单调递减，
∴y=-cosx在[0，[π/3]]上单调递增，又a＞0，
∴g（x）=-acos[π/3]x-2a+2（a＞0）在[0，1]上

点评：
本题考点： 复合三角函数的单调性；函数的值域．

考点点评： 本题考查复合三角函数的单调性，考查函数的值域，考查三角函数的诱导公式及综合应用，属于难题．