（2013•大连二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D，与y轴交于点C，直线CD的解析式为y＝3x+23．

解题思路：（1）首先根据直线CD的解析式求得点C的坐标，从而求得抛物线的c值，然后根据点A的坐标过D作DM⊥y轴于M，表示出顶点坐标后代入抛物线的顶点式展成一般形式后即可求得b的值；（2）作抛物线的对称轴交x轴于点B，根据∠DCM=30°，得到∠CDB=30°，由抛物线的对称性，可得△DCE为等边三角形，根据抛物线的对称轴表示出点D的坐标即可代入函数解析式求得抛物线的解析式．（3）过C作CM⊥DE于N交抛物线于点M，此时，△CDM≌△CEM，然后根据△CDE为等边三角形，得到CM为DE的中垂线，从而得到DM=EM，△CDM≌△CEM，求得直线的解析式后即可联立求交点坐标．

（1）∵直线CD的解析式为y＝
3x+2
3，
∴C（0，2
3），
∴c=2
3，
设直线CD交x轴于点A，
∴A（-2，0），
∴

OA
OC＝
2
2
3＝

3
3，
∴∠OCA=30°
过D作DM⊥y轴于M，
∴∠DCM=30°，
∴C＝
3DM，
设抛物线的顶点横坐标为h，则CM＝
3h，
∴D(h ， 2
3+
3h)…（3分）
∴y＝a(x−h)2+2
3+
3h
代入C(0 ， 2
3)
∴2
3＝ah2+2
3+
3h
∴h₁=0（舍），h2＝−

3
a
∴y＝a(x+

3
a)2+2
3+
3hy＝ax2+2
3x+
3
a+2
3+
3h
∴b＝2
3．

（2）作抛物线的对称轴交x轴于点B，（如图）
∵∠DCM=30°，
∴∠CDB=30，由抛物线的对称性，可得△DCE为等边三角形．
∵CE∥x轴，
∴△DAF为等边三角形，
∴B为AF中点，
∵A（-2，0），F（4，0），
∴B（1，0）
抛物线对称轴为直线x=1，
∴−
b
2a＝1，
∴−
2
3
2a＝1
∴a＝−
3，
∴D(1 ， 3
3)，
∴y＝−
3(x−1)2+3
3y＝−
3x2+2
3x+2
3．
（3）存在．过C作CM⊥DE于N交抛物线于点M，
此时，△CDM≌△CEM
∵△CDE为等边三角形，
∴CM为DE的中垂线，
∴DM=EM，
∴△CDM≌△CEM，
∵D(1 ， 3
3)，E(2 ， 2
3)
∴N(
3
2 ，
5
3
2)
设y_CN=kx+b代入(0 ， 2
3) ， (
3
2 ，
5
3
2)
解得yCN＝

3
3x+2
3…（11分）

y＝

3
3x+2
3
y＝−
3x2+2
3x+2
3
解得M(
5
3 ，
23
3
9)．…（12分）

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是中考压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、轴对称的性质等重要知识点，涉及考点较多，有一点的难度．