在四面体ABCD中,AB=AD=√3,BC=CD=3,AC=√10,BD=2.
在四面体ABCD中,AB=AD=√3,BC=CD=3,AC=√10,BD=2.
(1)平面ABD与平面BCD是否垂直?证明.
(2)求二面角A-CD-B的正切值.
(3)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.
(1)平面ABD与平面BCD是否垂直?证明.
(2)求二面角A-CD-B的正切值.
(3)求异面直线BC与AD所成角的余弦值.
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垂直 取BD中点E,连接AE,CE,则AE=根号2,CE=2倍根号2,（三角形ABD,BCD均为等腰三角型）由勾股定理知三角形ACE为直角三角形,因此AE垂直于CE,又由等腰三角形性质,AE垂直于BD,因此AE垂直于平面BCD,AE属于平面ABD,因此平面ABD垂直于平面BCD
由上题建立空间直角坐标系E为原点,ED为X轴,EC为Y轴,EA为Z轴,
则E(0,0,0),A（0,0,根号2）,B（-1,0,0）,C（0,2倍根号2,0）D（1,0,0）
BD=（2,0,0）,BC=（1,2倍根号2,0）
AC=（0,2倍根号2,-根号2）,AD=（1,0,-根号2）
则平面ACD的法向量为N1=（2倍根号2,1,2）,平面BCD的法向量为N2=（0,0,1）
cos=2倍根号13/13
tan=3/2
cos=BC*AD/[BC]*[AD]=根号3/9
由上题建立空间直角坐标系E为原点,ED为X轴,EC为Y轴,EA为Z轴,
则E(0,0,0),A（0,0,根号2）,B（-1,0,0）,C（0,2倍根号2,0）D（1,0,0）
BD=（2,0,0）,BC=（1,2倍根号2,0）
AC=（0,2倍根号2,-根号2）,AD=（1,0,-根号2）
则平面ACD的法向量为N1=（2倍根号2,1,2）,平面BCD的法向量为N2=（0,0,1）
cos=2倍根号13/13
tan=3/2
cos=BC*AD/[BC]*[AD]=根号3/9
1年前
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