教材第66页探索平方差公式时设置了如下情境：边长为b的小正方形纸片放置在边长为a的大正方形纸片上（如图①），你能通过计算

教材第66页探索平方差公式时设置了如下情境：边长为b的小正方形纸片放置在边长为a的大正方形纸片上（如图①），你能通过计算未盖住部分的面积得到公式（a+b）（a-b）=a²-b²吗？（不必证明）

（1）如果将小正方形的一边延长（如图②），是否也能推导公式？请完成证明．
（2）面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图③，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c²，也可以表示为4×[1/2]ab+（a-b）²，由此推导出重要的勾股定理：a²+b²=c²．图④为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你完成证明．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a-2b）²=a²-4ab+4b²，画在下面的网格（图⑤）中，并标出字母a、b所表示的线段．

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乐器街的故事幼苗

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解题思路：利用正方形和梯形的面积公式可知，图中未盖住部分的面积=（a+b）（a-b）=a²-b²．
（1）利用正方形和长方形的面积公式可知，图中未盖住部分的面积=a（a-b）+b（a-b）=（a+b）（a-b）=a²-b²．
（2）此直角梯形的面积有三部分组成，利用直角梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和列出方程并整理．
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．

（1）未盖住部分的面积为：a（a-b）+b（a-b）=（a+b）（a-b），
也可以看作a²-b²，
则（a+b）（a-b）=a²-b²；
（2）因为S_梯形=[1/2]（a+b）²=[1/2]（a²+2ab+b²），
又因为S_梯形=[1/2]ab+[1/2]ba+[1/2]c²，
所以[1/2]（a²+2ab+b²）=[1/2]（2ab+c²），
[1/2]a²+ab+[1/2]b²=ab+[1/2]c²，
得c²=a²+b²．
（3）∵图形面积为：（a-2b）²=a²-4ab+4b²，
∴边长为=a-2b，
由此可画出的图形为：

点评：
本题考点：勾股定理的证明；完全平方公式的几何背景；平方差公式的几何背景．

考点点评：（1）考查了平方差公式的几何意义，运用不同方法表示未盖住部分面积是解题的关键．
（2）此类证明要转化成同一个东西的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
（3）考查了多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型．

1年前

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