（2013•湘潭）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线

（1）如答图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD+∠ACD=90°．
∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OAB+∠CAD=90°，
∴∠OAB=∠ACD，∠OBA=∠CAD．
∵在△AOB与△CDA中，


∠OAB＝∠ACD
AB＝AC
∠OBA＝∠CAD
∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD=OA=1，AD=OB=2，
∴OD=OA+AD=3，
∴C（3，1）．
∵点C（3，1）在抛物线y=
1
2x²+bx-2上，
∴1=
1
2×9+3b-2，解得：b=-
1
2．
∴抛物线的解析式为：y=
1
2x²-
1
2x-2．

（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=
5．
∴S_△ABC=
1
2AB²=
5
2．
设直线BC的解析式为y=kx+b，∵B（0，2），C（3，1），
∴

b＝2
3k+b＝1，
解得k=-
1
3，b=2，
∴y=-
1
3x+2．
同理求得直线AC的解析式为：y=
1
2x-
1
2．
如答图1所示，
设直线l与BC、AC分别交于点E、F，则EF=（-
1
3x+2）-（
1
2x-
1
2）=
5
2-
5
6x．
△CEF中，EF边上的高h=OD-x=3-x．
由题意得：S_△CEF=
1
2S_△ABC，
即：
1
2EF•h=
1
2S_△ABC，
∴
1
2（
5
2-
5
6x）•（3-x）=
1
2×
5
2，
整理得：（3-x）²=3，
解得x=3-
3或x=3+
3（不合题意，舍去），
∴当直线l解析式为x=3-
3时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．

（3）存在．
如答图2所示，

过点C作CG⊥y轴于点G，则CG=OD=3，OG=1，BG=OB-OG=1．
过点A作AP∥BC交y轴于点W，
∵四边形ACBP是平行四边形，
∴AP=BC，连接BP，则四边形PACB为平行四边形．
过点P作PH⊥x轴于点H，
∵BC∥AP，
∴∠CBO=∠AWO，
∵PH∥WO，
∴∠APH=∠AWO，
∴∠CBG=∠APH，
在△PAH和△BCG中，


∠AHP＝∠BGC
∠APH＝∠CBG
AP＝BC
∴△PAH≌△BCG（AAS），
∴PH=BG=1，AH=CG=3，
∴OH=AH-OA=2，
∴P（-2，1）．
抛物线解析式为：y=
1
2x²-
1
2x-2，当x=-2时，y=1，即点P在抛物线上．
∴存在符合条件的点P，点P的坐标为（-

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、全等三角形、平行四边形、等腰直角三角形等知识点．试题难度不大，但需要仔细分析，认真计算．