已知二次函数f（x）=mx2-2x-3，关于实数x的不等式f（x）≤0的解集为（-1，n）

（1）由不等式mx²-2x-3≤0的解集为（-1，n）知
关于x的方程mx²-2x-3=0的两根为-1和n，且m＞0
由根与系数关系，得

−1+n＝
2
m
−1×n＝−
3
m∴

m＝1
n＝3，
所以原不等式化为（x-2）（ax-2）＞0，
①当0＜a＜1时，原不等式化为(x−2)(x−
2
a)＞0，且2＜
2
a，解得x＞
2
a或x＜2；
②当a=1时，原不等式化为（x-2）²＞0，解得x∈R且x≠2；③
④当a＞1时，原不等式化为(x−2)(x−
2
a)＞0，且2＞
2
a，解得x＜
2
a或x＞2；
综上所述
当0＜a≤1时，原不等式的解集为{x|x＞
2
a或x＜2}；
当1＜a＜2时，原不等式的解集为{x|x＞2或x＜
2
a }．
（2）假设存在满足条件的实数a，
由（1）得：m=1，
∴f（x）=x²-2x-3，
∴y=f（a^x）-3a^x+1
=a^2x-2a^x-3-3a^x+1
=（a^x）²-（3a+2）a^x-3，
令a^x=t，（a²≤t≤a），
则y=t²-（3a+2）t-3
∴对称轴为：t=[3a+2/2]，
又0＜a＜1，
∴a²＜a＜1，1＜[3a+2/2]＜[5/2]，
∴函数y=t²-（3a+2）t-3在[a²，a]递减，
∴t=a时，y最小为：y=-2a²-2a-3=-5，
解得：a=

5−1
2，

点评：
本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查了二次函数的性质，指数函数的性质，考查不等式的解法，考查分类讨论思想，换元思想，是一道综合题．