（2013•厦门模拟）已知函数f（x）=x+alnx在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+[

解题思路：（1）由f′(x)＝1+

a

x

，利用导数的几何意义能求出实数a的值．
（2））由已知得g′(x)＝

1

x

+x−(b−1)=

x2−(b−1)x+1

x

，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，即x+[1/x]+1-b＜0有解，由此能求出实数b的取值范围．
（3）由g′(x)＝

1

x

+x−(b−1)=

x2−(b−1)x+1

x

，x＞0，由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，x＞0，设μ（x）=x²-（b-1）x+1，由此利用构造成法和导数性质能求出g（x₁）-g（x₂）的最大值．

（1）∵f（x）=x+alnx，
∴f′(x)＝1+
a
x，
∵f（x）在x=1处的切线l与直线x+2y=0垂直，
∴k=f′（x）|_x=1=1+a=2，
解得a=1．
（2）∵g（x）=lnx+[1/2x2-（b-1）x，
∴g′(x)＝
1
x+x−(b−1)=
x2−(b−1)x+1
x]，x＞0，
由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
即x+[1/x]+1-b＜0有解，
∵定义域x＞0，
∴x+[1/x]≥2，
x+[1/x]＜b-1有解，
只需要x+[1/x]的最小值小于b-1，
∴2＜b-1，解得实数b的取值范围是{b|b＞3}．
（3）∵g（x）=lnx+[1/2x2-（b-1）x，
∴g′(x)＝
1
x+x−(b−1)=
x2−(b−1)x+1
x]，x＞0，
由题意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，
∵x＞0，设μ（x）=x²-（b-1）x+1，
则μ（0）=[ln（x₁+
1
2x12-（b-1）x₁]-[lnx₂+
1
2x22-（b-1）x₂]
=ln
x1
x2+
1
2(x12−x22)−(b−1)(x1−x2)
=ln
x1
x2+
1
2(x12−x22)−(x1+x2)(x1−x2)
=ln

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查实数值的求法，考查函数的最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．