线性代数 若im σ=im τσ 则ker σρ=ker τσρ

不用证明τ是单射
首先任取a∈Kerσρ,即σρ(a)=0,有τσρ(a)=0,所以Kerσρ包含了Kerτσρ
然后,dim(Kerσ)=n-Imσ=n-Imτσ=dim(Kerτσ)
又任取b∈Kerσ,即σ(a)=0,有τσ(a)=0,所以Kerσ包含于Kerτσ,所以Kerσ=Kerτσ
所以任取c∈Kerτσρ,即τσρ(c)=0,则τσ(ρ(c))=0,即ρ(c)∈Kerτσ
又上面已得Kerσ=Kerτσ,所以ρ(c)∈Kerσ,即σρ(c)=0,所以c∈Kerσρ
因此Kerτσρ包含了Kerσρ
综上,ker σρ=ker τσρ