如图，设抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1、F2为焦点，离心率e=[1/2]的椭
如图，设抛物线C1：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1、F2为焦点，离心率e=[1/2]的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的一个交点为P．（1）当m=1时，求椭圆的方程及其右准线的方程；
（2）是否存在实数m，使得△PF1F2的边长是连续的自然数，若存在，求出这样的实数m；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）的条件下，直线l经过椭圆C2的右焦点F2，与抛物线C1交于A1、A2，如果以线段A1A2为直径作圆，试判断点P与圆的位置关系，并说明理由．
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解题思路：（1）m=1时，求出焦点坐标以及a，b 的值，写出椭圆方程．
（2）假设存在实数m，在△PF1F2中，|PF1|最长，|PF2|最短，令|F1F2|=2c=2m，则|PF1|=2m+1，|PF2|=2m-1，把P（m-1，4m（m-1））代入椭圆方程求出m值．
（3）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R，联立{y2=4xx24+y23=1得点P的坐标为P（23，263）．再由韦达定理可知点P可在圆内，圆上或圆外．
（2）假设存在实数m，在△PF1F2中，|PF1|最长，|PF2|最短，令|F1F2|=2c=2m，则|PF1|=2m+1，|PF2|=2m-1，把P（m-1，4m（m-1））代入椭圆方程求出m值．
（3）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R，联立{y2=4xx24+y23=1得点P的坐标为P（23，263）．再由韦达定理可知点P可在圆内，圆上或圆外．
（1）m=1时，抛物线C1：y2=4x，焦点为F2 （1，0）． 由于椭圆离心率e＝
1
2，c=1，
故 a=2，b=
3，故所求的椭圆方程为
x2
4+
y2
3＝1．右准线方程为：x=4．
（2）∵C1：y2=4mx（m＞0）的右焦点F2（m，0）
∴椭圆的半焦距c=m，又e＝
1
2，
∴椭圆的长半轴的长a=2m，短半轴的长b＝
3m．
∴椭圆方程为
x2
4m2+
y2
3m2＝1．
假设存在实数m，△PF1F2中的边长是连续自然数，则在△PF1F2中，|PF1|最长，|PF2|最短，
令|F1F2|=2c=2m，则|PF1|=2m+1，|PF2|=2m-1．
由抛物线的定义可得|PF2|=2m-1=xP-（-m），∴xP=m-1．
把P（m-1，4m（m-1））代入椭圆
x2
4m2+
y2
3m2＝1，解得m=3．
故存在实数m=3 满足条件．
（3）依题意设直线l的方程为：x=ky+1，k∈R
联立
y2＝4x
x2
4+
y
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；抛物线的简单性质．
考点点评： 本题考查抛物线和椭圆的标准方程和简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，同时考查向量知识的运用，综合性较强，属于中档题．
1年前
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