已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M=（2，1）．

解题思路：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1 (a＞b＞0)，利用长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M（2，1），可建立几何量之间的关系，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）先假设l的方程为y＝

1

2

x+m，再与椭圆方程联立，将∠AOB为钝角，转化为

OA

•

OB

＜0且m≠0，利用韦达定理，即可求出直线l在y轴上的截距m的取值范围；
（ⅱ）依题意可知，直线MA、MB的斜率存在，分别记为k₁，k₂，证明k₁+k₂=0，即可得到直线MA、MB的倾斜角互补，从而可知直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

（Ⅰ）设椭圆方程为
x2
a2+
y2
b2＝1 (a＞b＞0)，则
∵长轴长是短轴长的2倍的椭圆经过点M（2，1）．
∴

a＝2b

4
a2+
1
b2＝1（2分）
解得

a2＝8
b2＝2.，故椭圆的方程为
x2
8+
y2
2＝1．（2分）
（Ⅱ）（ⅰ）由直线l平行于OM，得直线l的斜率k＝kOM＝
1
2，
又l在y轴上的截距为m，所以l的方程为y＝
1
2x+m．
由

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；直线的斜率；椭圆的标准方程．

考点点评： 本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是联立方程组，利用韦达定理解决直线与椭圆的位置关系问题．