求∫∫∫（D）1/(1+x+y+z)^3,其中D为平面x+y+z=1与三个左边面所围成的四面体

求∫∫∫（D）1/(1+x+y+z)^3,其中D为平面x+y+z=1与三个左边面所围成的四面体
∫(0~1)dx∫(0~1-x)dy∫(0~1-x-y)1/(1+x+y+z)^3dz,然后下一步怎么解
bevin84722 1年前 已收到2个回答 举报
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本桥 幼苗

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一步一步的积分即可∫(0~1-x-y)1/(1+x+y+z)^3dz = [-1/2(1+x+y+z)^2] (0~1-x-y) = 1/2(1+x+y)^2 - 1/8∫ ( 1/2(1+x+y)^2 - 1/8 ) dy = 1/2(1+x) - (3-x) / 8 积分限(0,1-x)
∫ ( 1/2(1+x) - (3-x) / 8 ) dx = ln(1+x) / 2 - 3x/8 + x^2 / 16 = ln2 / 2 - 5/16 积分限(0,1)

1年前

3

pincesskiko 幼苗

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这样积分太麻烦，可以令那个正三角形面积为元素积

1年前

2
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