lim[ln(a+x)-lna]/x=?x→0 答案是1/a 是怎么解出来的,给个解法

这么简单,用不着洛必达法则吧
lim(x→0) [ln(a+x)-lna]/x
=lim(x→0) (1/x)ln[(a+x)/a]
=lim(x→0) (1/x)ln(1+x/a)
这时应该要用lim(y→0)(1+y)^(1/y)=e这定理,记住括号的y和指数的y要一样
即lim(x→0) (1+x)^(1/x)=lim(z→0) (1+z)^(1/z)=lim(K→0) (1+K)^(1/K)=e
=lim(x→0) (1/a)(a/x)ln(1+x/a),这里乘以a再除以a凑出x/a
=(1/a)lim(x→0) ln(1+x/a)^(a/x)
=(1/a)lim(x→0) ln(1+x/a)^[1/(x/a)],看到x/a是一样的
若用y=x/a,当x→0时y→0
=(1/a)lim(y→0) ln(1+y)^(1/y)
=(1/a)*ln[lim(x→0) (1+y)^(1/y)]
=(1/a)*ln(e),lne=1
=1/a