（2009•河东区二模）已知抛物线y2=2px（p＞0），直线过点A（-2，-4），且倾斜角为45°．

解题思路：（Ⅰ）直线的方程为y+4=x+2，即x-y-2=0，与抛物线联立，利用韦达定理，结合|MN|²=|AM|•|AN|，求抛物线的方程；
（Ⅱ）假设存在p，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是抛物线上关于对称的两点，线段PQ的中点为G（x₀，y₀）．求出PQ的方程为y=-x+m，与抛物线联立，利用韦达定理即可得出结论．

（Ⅰ）直线的方程为y+4=x+2，即x-y-2=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为方程组

y2＝2px
x−y−2＝0的解．
化简得y²-2py-4p=0．
∴y₁+y₂=2p，y₁y₂=-4p．|MN|²=2（y₂-y₁）²=8p（p+4）
∴|AM|•|AN|=
2|y1+4|•
2|y2+4|＝2|y1y2+4(y1+y2)+16|＝8(p+4)．
∴8p（p+4）=8（p+4）．∵p＞0，∴p=1．
∴所求抛物线方程为y²=2x．
（Ⅱ）假设存在p，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是抛物线上关于对称的两点，线段PQ的中点为G（x₀，y₀）．
PQ垂直直线，故PQ的方程为y=-x+m．
由

y＝−x+m
y2＝2px得y²+2py-2pm=0．
∴y₁+y₂=-2p，于是y₀=-p．∴x₀=m+p．
∵点G在直线上，故有m+p-（-p）-2=0．
∴m=2-2p．y²+2py-2p（2-2p）=0．
由△=4p²+8p（2-2p）＞0，即3p²-4p＜0，解得0＜p＜[4/3]．
∴当0＜p＜[4/3]时，抛物线y²=2px上存在关于直线对称的两点．

点评：
本题考点： 抛物线的简单性质．

考点点评： 本题考查满足条件的直线是否存在的判断，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．