证明 不存在n阶正交矩阵A,B 使得AA＝AB+BB

f菲儿 1年前 已收到2个回答 举报
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yuluoyouyang 幼苗

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I表示单位阵,X^{t}表示X的转置.因为AA=AB+BB,所以A+B=AAB^{t}.由于AAB^{t}是正交阵,(A+B)^{t}(A+B)=I,化简可得：B^{t}A+A^{t}B+I=0.令C=B^{t}A,则C也是正交阵,满足C+C^{t}+I=0,两边乘以C,C^2+C+I=0.正交阵是等距变换,所以特征值只能是正负1.但是正负1都不是方程x^2+x+1=0的解,所以矛盾.

1年前

9

liyulg 幼苗

共回答了307个问题 举报

鉴于“满意回答”中有严重的逻辑错误，我给你一个正解吧。
由A+B=A^2B^T得到A+B是正交阵之后再回到原方程
0 = A^2-AB+B^2 = (A+B)(A-B) - BA
所以BA=(A+B)(A-B)，这样A-B也是正交阵。
接下去把
(A+B)^T(A+B)=I
和
(A-B)^T(A-B)=I
相加即得矛盾。
注...

1年前

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