已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a≠0），f′（x）是它的导函数，且对任意的x∈R，f′（x）=

（1）∵f（x）=ax²+bx+c
∴f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+（2a+b）x+（a+b+c）
f′（x）=2ax+b
∵f′（x）=f（x+1）+x²恒成立
∴2ax+b=（a+1）x²+（2a+b）x+（a+b+c）
∴

a+1＝0
2a+b＝2a
a+b+c＝b
解得a=-1，b=0，c=1
∴f（x）=-x²+1
（2）由（1）得f（x）=-x²+1，f′（x）=-2x
则f（t）=-t²+1，f′（t）=-2t
故切线l的方程为y-（-t²+1）=-2t（x-t）
当x=0时，y=t²+1，当y=0时，x=
t2+1
2t，
∴S（t）=[1/2]|xy|=
(t2+1)2
4t
∴S′（t）=
(t2+1)(3t2−1)
4t2
∵t∈（0，

3
3）时，S′（t）＜0，t∈（

3
3，+∞）时，S′（t）＞0，
故当t=

3
3时，S（t）取最小值
4
9

点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；二次函数的性质．

考点点评： 本题考查的知识点是求二次函数的解析式，利用导数法求最值，是导数与二次函数图象和性质的综合应用，难度较大．