已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线交椭圆
已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线交椭圆于S，T两点，交抛物线于C，D两点，且
=2
．
（I）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设Q（2，0），过点（-1，0）的直线l交椭圆E于M、N两点．
（i）当
•
=[19/3]时，求直线l的方程；
（ii）记△QMN的面积为S，若对满足条件的任意直线l，不等式S≤λtan∠MQN恒成立，求λ的最小值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| |CD| |
| |ST| |
| 2 |
（I）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）设Q（2，0），过点（-1，0）的直线l交椭圆E于M、N两点．
（i）当
| QM |
| QN |
（ii）记△QMN的面积为S，若对满足条件的任意直线l，不等式S≤λtan∠MQN恒成立，求λ的最小值．
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解题思路：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点坐标，从而设出椭圆E的方程，求出|CD|，|ST|，利用条件，即可求得椭圆E的方程；
（Ⅱ）（i）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用向量的数量积公式及韦达定理，结合条件，即可求直线l的方程；
（ii）求出
•
的最大值是[17/2]，根据S≤λtan∠MQN恒成立，利用数量积公式，即可求λ的最小值．
（Ⅱ）（i）分类讨论，设出直线方程，代入椭圆方程，利用向量的数量积公式及韦达定理，结合条件，即可求直线l的方程；
（ii）求出
| QM |
| QN |
（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点F2（1，0），∴c=1．
∴椭圆E的方程为
x2
b2+1+
y2
b2＝1
直线x=1代入抛物线方程，可得C（1，2），D（1，-2），∴|CD|=4
直线x=1代入椭圆方程，可得|ST|=
2b2
a
∵
|CD|
|ST|=2
2，∴
2a
b2＝2
2
∵a2-b2=1
∴a＝
2，b＝1
∴椭圆E的方程为
x2
2+y2＝1；
（Ⅱ）（i）设M（x1，y1），N（x2，y2），则
QM=（x1-2，y1），
QN（x2-2，y2），
当直线l垂直于x轴时，x1=x2=-1，y1=-y2，y12＝
1
2
∴
QM•
QN=（x1-2）（x2-2）+y1y2=9-y12＝
17
2≠[19/3]，不合题意；
直线l的斜率存在时，设方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0
∴x1+x2=-
4k2
1+2k2，x1x2=
2k2−2
1+2k2
∵y1=k（x1+1），y2=k（x2+1）
∴
QM•
QN=（x1-2）（x2-2）+y1y2=（x1-2）（x2-2）+k（x1+1）•k（x2+1）
=(k2+1)x1x2+(k2−2)(x1+x2)+k2+4
=[17/2−
13
2(1+2k2)]=[19/3]
∴k2=1，∴k=±1
∴直线l的方程为x-y+1=0或x+y+1=0；
（ii）由（i）知，
QM•
QN=[17/2−
13
2(1+2k2)]＜[17/2]
∴
QM•
QN的最大值是[17/2]
∵S≤λtan∠MQN恒成立，
∴
1
2|
OM||
ON|sin∠MQN≤λ[sin∠MQN/cos∠MQN]恒成立
∵
QM•
QN=[17/2−
13
2(1+2k2)]＞0
∴cos∠MQN＞0
∴|
OM||
ON|cos∠MQN≤2λ恒成立
∴
QM•
QN≤2λ恒成立
∴2λ≥
17
2，即λ≥
17
4
∴λ的最小值[17/4]．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
考点点评： 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆、抛物线方程的位置关系，考查向量的数量积公式，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．
1年前
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