（2014•大兴区一模）对于无穷数列{an}，记bn=an+1-an（n∈N*），给出下列定义：

解题思路：（Ⅰ）an＝

1/n]时，bn+1-bn=[1/n+1

(

1

n

−

1

n+2

)＞0，由此得到数列{

1

n]}既是由上界数列，又是有最大值数列．an＝− 1 2n 时，bn+1−bn＝ 1 2n+2 − 1 2n+1 =-[1

2n+2

＜0，an＝−

1

2n

≤0，由此得到数列{-

1

2n

}是差减小数列，又是有上界数列．
（Ⅱ）假设存在某个k使得，ak＜

2

，（k＞1，k∈N * ）成立，则必有ak−1＝ak2−2＜0，与已知矛盾；假设存在某个k使得，a_k≥2，（n＞，n∈N^*）成立，得到a_k，a_k-1，…，a₁≥2成立，与a1＝

2

＜2矛盾，故

2

≤an＜2．由已知推导出bn＞(

2

+

2

)bn+1＞bn+1，b_n+1-b_n＜0，由此证明{a_n}既是差减少数列又是有上界数列．
（Ⅲ）假设无穷数列{a_n}不是单调递增数列，设k为第一个使a_k+1≤a_k成立的自然数，则数列从第k项开始为单调递减数列，由此推导出无穷数列{a_n}为有最大值数列，与已知矛盾，由此得到无穷数列{a_n}一定是单调递增数列．

（Ⅰ）（i）an＝
1/n]，显然an＝
1
n≤1，且存在n=1，a₁=1，
bn＝
1
n+1−
1
n=-[1
n(n+1)，
b_n+1-b_n=-
1
(n+1)(n+2)+
1
n(n+1)=
1/n+1(
1
n−
1
n+2)＞0，
所以数列{
1
n]}既是由上界数列，又是有最大值数列．…（2分）
（i）an＝−
1
2n，bn＝−
1
2n+1+
1
2n=[1
2n+1，
bn+1−bn＝
1
2n+2−
1
2n+1=-
1
2n+2＜0，an＝−
1
2n≤0，
且不存在n₀，使an0=0成立；所以数列{-
1
2n}是差减小数列，又是有上界数列 …（4分）
（Ⅱ）证明：下面用反证法证明

点评：
本题考点： 数列与函数的综合；反证法与放缩法．

考点点评： 本题考查{1/n]}，{-12n}分别是那种数列的判断，考查数列{an}既是有上界数列又是差减小数列的证明，考查无穷数列{an}一定是单调递增数列的证明，解题时要认真审题，注意反证法和放缩法的合理运用．