mikshi 幼苗
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(Ⅰ)函数f(x)图象过点(0,-1),切线斜率为f′(0)=
1−(−1)
1−0=2,…(2分)
f(x)=ax-ex⇒f′(x)=a-ex⇒f′(0)=a-1=2,∴a=3.…(6分)
(Ⅱ)令g(x)=x-f(x),则g(x)=ex-(a-1)x.
若a=1,则g(x)=ex>0,∴f(x)≤x成立.…(8分)
若1<a≤1+e,则g'(x)=ex-(a-1).
∴当x<ln(a-1)时,g′(x)<0;当x>ln(a-1)时,g′(x)>0.
∴g(x)的(-∞,ln(a-1))上单调递减;在(ln(a-1),+∞)上单调递增.
∴g(x)≥g(ln(a-1))=eln(a-1)-(a-1)ln(a-1)=(a-1)[1-ln(a-1)].…(11分)
又∵1<a≤1+e⇒a-1>0,ln(a-1)≤lne=1,
∴(a-1)[1-ln(a-1)]≥0.
∴g(x)≥0,即f(x)≤x恒成立.
综上,当1≤a≤1+e时f(x)≤x.…(14分)
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程.
考点点评: 本题主要考查导数的几何意义的应用,以及构造函数研究函数的最值是解决本题的关键.
1年前
1年前1个回答
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(本小题满分12分)已知函数 ,其中 为自然对数的底数, 。
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