已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，且|ka+b|＝3|a−kb|(k＞0)，令f(k)＝a•b，

（Ⅰ）由题设得|

a|2＝|

b|2＝1，对|k

a+

b|＝
3|

a−k

b|，
两边平方得k2

a2+2k

a•

b+

b2＝3(

a2−2k

a•

b+k2

b2)． …（2分）
展开整理易得f(k)＝

a•

b＝
k2+1
4k(k＞0)．…（4分）
（Ⅱ）∵f(k)＝
k2+1
4k＝
k
4+
1
4k≥
1
2，当且仅当k=1时取得等号．…（6分）
欲使f(k)≥x2−2tx−
1
2对任意的t∈[-1，1]恒成立，等价于
1
2≥x2−2tx−
1
2…（7分）
即g（t）=2xt-x²+1≥0在[-1，1]上恒成立．
而g（t）在[-1，1]上为单调函数或常函数，
所以

g(1)＝2x−x2+1≥0
g(−1)＝−2x−x2+1≥0，…（11分）
解得1−
2≤x≤
2−1，…（13分）
故实数x的取值范围为[1−
2，
2−1]． …（14分）

点评：
本题考点： 平面向量数量积的运算；函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查两个向量的数量积的运算，以及函数的恒成立问题，求出函数f（k）的解析式，是解题的突破口，属于中档题．

1年前

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