如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．

解题思路：（1）求出AD=BD=BC，证△ABC∽△BDC，推出[BC/CD]=[AC/BC]，求出BC²=AD²=AC×（AC-AD），求出AD=

5 −1

2

AC，代入求出即可；
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E．由等腰三角形“三合一”的性质得到：AE=[1/2]AB=[1/2]，则根据锐角三角函数的定义得到：cosA=[AE/AD]，将相关线段的长度代入求值即可．

（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠C=∠ABC=[1/2]（180°-∠A）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°=∠A，
∴AD=BD，
∵∠C=72°，∠CBD=36°，
∴由三角形内角和定理得：∠BDC=72°=∠C，
∴BD=BC=AD，
∵∠C=∠C，∠CBD=∠A，
∴△ABC∽△BDC，
∴[BC/CD]=[AC/BC]，
∴BC²=AC×CD，
∵AD=BD=BC，
∴AD²=AC×CD=AC×（AC-AD），
解关于AD的方程得：AD=

5-1
2AC=

5-1
2，即AD=

5-1
2；
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E．
由（1）知，AD=BD，则AE=[1/2]AB=[1/2]，
∴cosA=[AE/AD]，即

1
2


5-1
2=

5+1
4，
∴cosA的值是

5+1
4．

点评：
本题考点： 相似三角形的判定与性质；黄金分割；锐角三角函数的定义．

考点点评： 本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，角平分线定义，相似三角形的性质和判定，黄金分割等知识点的综合运用．