如何证明锐角三角形中a/sinA=c/sinC?

用不了那么复杂,很简单
设三角形为ABC,BC=a AC=b AB=c
过A作AD⊥BC于D,BE垂直于AC于E,CF垂直于AB于F
则AD=AB*sin∠B BE=BC*sin∠C CF=AC*sin∠A
三角形ABC的面积=1/2*BC*AD=1/2*BC*AB*sin∠B=1/2*a*c*sinB
三角形ABC的面积=1/2*AC*BE=1/2*AC*BC*sin∠C=1/2*a*b*sinC
三角形ABC的面积=1/2*AB*CF=1/2*AB*AC*sin∠A=1/2*b*c*sinA
所以有1/2*a*c*sinB=1/2*a*b*sinC=1/2*b*c*sinA
即：a*c*sinB=a*b*sinC=b*c*sinA
同时除以abc可得
sinA/a=sinB/b=sinC/c
再都取倒数可得
a/sinA=b/sinB=c/sinC
就是利用面积相等是最好理解的,楼上的说做辅助圆也是一种方法,希望采纳啊,打的辛苦

作三角形外接圆，辅助圆法。半径为R
那么a=RsinA，c=Rsinc
于是a/sinA=c/sinC

如果学了圆的话，用圆的知识来证明。只需要证明a=2RsinA,c=2RsinC即可。
希望对您有所帮助
如有问题，可以追问。
谢谢您的采纳

其实，最简单的做是作一条高。
作AC边上的高BD，则
sinA=BD/BA=BD/c，sinC=BD/BC=BD/a，
所以，BD=csinA=asinC，
即 a/sinA=c/sinC.