求函数y=(2x^2+4x-7)/(x^2+2x+3)的值域

求函数y=(2x^2+4x-7)/(x^2+2x+3)的值域
该函数的定义域为：x∈R,于是：y(x^2+2x+3)=2x^2+4x-7,(y-2)x^2+(2y-4)x+3y+7=0 到这了,然后这步不懂,为什么∵x∈R,∴△=(2y-4)^2-4(y-2)(3y+7)≥0?
曼珠沙华_林 1年前 已收到2个回答 举报
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黑夜花雨 幼苗

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首先要说明的是,你说的这种解法按你写的这个过程是有问题的,y=2时,就不是一元二次方程了,更谈不上判别式.不过方法总体没错,就是麻烦点.你问的问题先解答一下：y≠2时,x有解,对于一元二次方程,判别式≥0,从而判断y的取值范围.
下面用比较简便的方法
y=(2x²+4x-7)/(x²+2x+3)=(2x²+4x+6-13)/(x²+2x+3)=[2(x²+2x+3)-13]/(x²+2x+3)=2 - 13/(x²+2x+3)
x²+2x+3=x²+2x+1+2=(x+1)²+2≥2
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1年前 追问

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曼珠沙华_林 举报

嗯，谢谢 但是△≥0 上面我没算出来——！怎么算的

举报 黑夜花雨

哦，那我算一下。 (2y-4)²-4(y-2)(3y+7)≥0 4y²-16y+16-4(3y²+y-14)≥0 -20y-8y²+72≥0 8y²+20y-72≤0 2y²+5y-18≤0 (y-2)(2y+9)≤0 -9/2≤y≤2 看到了吧，刚才我说的这种方法的错误就在这里了，直接用判别式，解得的是y可以取到2，实际上，y=2时，方程已经不是一元二次方程了，因此y取不到2 -9/2≤y<2 结果和我上面解的是一样的。

曼珠沙华_林 举报

最后问一下 △为什么是大于等于0的？

举报 黑夜花雨

这种方法最难理解的就是这里。你可以这样理对于任意的x，代入方程，等式都是成立的，那么x代入方程后解出的y肯定在值域里，这个时候方程是有实根的，反过来说，如果y满足方程有实根，那么y肯定在值域里，求出方程有解时y的取值范围就是值域。

bsb13 幼苗

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∵y是由x通过对应法则得来的，所以每一个函数值都有自变量与它对应，即x∈R，x是存在的。
楼上说的问题是有的，对y=2要再验证一下 ，发现无解，所以舍去

1年前

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你能帮帮他们吗

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