求(x^3-5x^2+3x+1)/(x^3-4x^2-x+4)当x趋向于1时的极限.

这种题目用 罗必达法则
如果将x的极限值代入,分母是一个正常的数,那么直接代进去就出结果了
如果代入后是 0/0型 或者 ∞/∞ 型 (更广泛的还有1的∞次方等型),就可以套用罗必达法则
也就是原极限可以化为 分子的导数/分母的导数
这题:
lim (x^3-5x^2+3x+1)/(x^3-4x^2-x+4)
x→1 .可以看出是 0/0型,可用罗必达法则
= lim (3x^2-10x+3)/(3x^2-8x-1)
x→1 .对上式分子分母同时求导得到.
= (3-10+3)/(3-8-1) = 2/3 .直接代入即可
用罗必达法则要注意两点:
1.0/0型 或者 ∞/∞ 型 (更广泛的还有1的∞次方等型),这些时候才可以用罗必达法则,其他情况均不行(如 a/b ,a/0 ,0/a 等,其中a b是不为0的数)
,后两个的极限分别是∞和0
2.不要和两函数商的求导公式混淆:
(1)罗必达法则是求极限的时候,函数商的极限值刚好等于分子分母求导再相除.
lim u(x)/v(x) = lim u'(x)/v'(x)
x→a x→a
(2)对于两个函数的商求导的情况不要以为就是简单的分子分母同时求导然后相除,而是应该比较负责的公式:
( u(x)/v(x) )' = ( u'(x)v(x)-u(x)v'(x) )/v(x)^2
这两者对于初学者来说比较容易混淆.