立体几何如图：在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E、F分别是AC、A
立体几何
如图：在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E、F分别是AC、AD的中点.
（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；
（2）求平面BEF和平面BCD所成的锐二面角.
如图：在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E、F分别是AC、AD的中点.
（1）求证：平面BEF⊥平面ABC；
（2）求平面BEF和平面BCD所成的锐二面角.
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(1)
∵AB⊥平面BCD
∴AB⊥CD
∵∠BCD=90°
∴CD⊥BC
∴CD⊥平面ABC
∵E、F分别是AC、AD的中点
∴EF‖CD
∴EF⊥平面ABC
∴平面BEF⊥平面ABC
(2)
平面BEF和平面BCD所成的锐二面角就是∠FBD=∠ABD-∠ABF
∵∠ADB=30°
∴∠BAD=60°AB=AD/2=AF
∴△ABF为正三角形
∴∠ABF=60°
∵AB⊥平面BCD
∴AB⊥BD
∴∠FBD=90°-60°=30°
∵AB⊥平面BCD
∴AB⊥CD
∵∠BCD=90°
∴CD⊥BC
∴CD⊥平面ABC
∵E、F分别是AC、AD的中点
∴EF‖CD
∴EF⊥平面ABC
∴平面BEF⊥平面ABC
(2)
平面BEF和平面BCD所成的锐二面角就是∠FBD=∠ABD-∠ABF
∵∠ADB=30°
∴∠BAD=60°AB=AD/2=AF
∴△ABF为正三角形
∴∠ABF=60°
∵AB⊥平面BCD
∴AB⊥BD
∴∠FBD=90°-60°=30°
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