动圆P过定点F(1,0)且与直线x=-1相切,圆心P的轨迹为曲线C,过F作曲线C两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD

动圆P过定点F(1,0)且与直线x=-1相切,圆心P的轨迹为曲线C,过F作曲线C两条互相垂直的弦AB,CD,设AB,CD的中点分别为M、N.
(1)求曲线C的方程;
(2)求证:直线MN必过定点.
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用筷子吃饭 幼苗

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解题思路:(1)由动圆P过定点F(1,0)且与直线x=-1相切,可得点P到定点F的距离等于到定直线x=-1的距离,利用抛物线的定义,可求曲线C的方程;
(2)求出M,N的坐标,可得直线MN的方程,即可得到结论.

(1)∵动圆P过定点F(1,0)且与直线x=-1相切,
∴点P到定点F的距离等于到定直线x=-1的距离,
∴点P的轨迹为抛物线,曲线C的方程为y2=4x;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=k(x-1),代入y2=4x可得k2x2-2(k2+2)x+k2=0
∴x1+x2=
2(k2+2)
k2
∴xM=
k2+2
k2,∴yM=k(xM-1)=[2/k]
∴M(
k2+2
k2,[2/k])
∵AB⊥CD,∴将M坐标中的k换成-[1/k],可得N(2k2+1,-2k)
∴直线MN的方程为y+2k=
−2k−
2
k
2k2+1−
k2+2
k2(x-2k2-1)
整理得(1-k2)y=k(x-3)
∴不论k为何值,直线MN必过定点T(3,0).

点评:
本题考点: 轨迹方程;恒过定点的直线.

考点点评: 本题主要考查抛物线的定义,考查直线恒过定点,确定直线的方程是关键.

1年前

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