嬴容玥 春芽
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(1)设已知矩形的长与宽分别为a,b,所求矩形为x,y.
则
x+y=2(a+b)
xy=2ab
∴x,y是方程t2-2(a+b)t+2ab=0的两实根.
∵△=4(a+b)2-8ab=4(a2+b2)>0,∴方程有解.
所以,对于长与宽分别为a,b矩形,存在周长与面积都是已知矩形的2倍的矩形;
(2)设已知矩形的长与宽分别为a,b,所求矩形为x,y.
则
x+y=m(a+b)
xy=mab
∴x,y是方程t2-m(a+b)t+mab=0的两实根.
当△=[m(a+b)]2-4mab≥0,即m≥
4ab
(a+b)2时,方程有解.
所以,对于长与宽分别为a,b的矩形,当m≥
4ab
(a+b)2时,存在周长与面积都是已知矩形的m倍的矩形.
∵(a-b)2≥0,
∴a2+b2≥2ab,a2+b2+2ab≥4ab,
即(a+b)2≥4ab,
4ab
(a+b)2≤1,
∴
4ab
(a+b)2的最大值为1.
∴当m≥1时,所有的矩形都有周长与面积同时扩大m倍的矩形.
点评:
本题考点: 根与系数的关系;根的判别式;矩形的性质.
考点点评: 本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.
1年前
你能帮帮他们吗