24118398 幼苗
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(1)当a=1,b=0时,f(x)=x3-3x2 所以f(1)=-2 即切点为P(1,-2)
因为f′(x)=3x2-6x所以 f′(1)=3-6=-3,
所以切线方程为y+2=-3(x-1)即y=-3x+1,
(2)f′(x)=3x2-6ax+3b2,
由于0<a<b,所以△=36a2-36b2=36(a+b)(a-b)<0,
所以函数f(x)在R上单调递增
所以不等式f([1−lnx/x−1])>f([k/x])
⇔[1−lnx/x−1]>[k/x]⇔
(1−lnx)x
x−1>k,对x∈(1,+∞)恒成立,
构造h(x)=
(1−lnx)x
x−1,h′(x)=
(2+lnx)(x−1)−(x+xlnx)
(x−1)2=[x−lnx−2
(x−1)2
构造g(x)=x-lnx-2,g′(x)=1-
1/x]=[x−1/x],
对x∈(1,+∞),g′(x)=[x−1/x]>0 所以g(x)=x-lnx-2在x∈(1,+∞)递增,
g(1)=-1,g(2)=-ln2,g(3)=1-ln3<0,g(4)=2-ln4>0,
所以∃x0∈(3,4),g(x2)=x0-lnx0-2=0,
所以x∈(1,x0),g(x)<0,h(x)<0,
所以,所以h(x)=
(1+lnx)x
x−1在(1,x2)递减
x∈(x0,+∞),g(x)>0,h(x)>0,
所以h(x)=
(1+lnx)x
x−1在(x0,+∞)递增
所以,h(x)min=h(x0)=
(1+lnx0)x0
x0−1结合
g(x0)=x0-lnx0-2=0得到,
h(x)min=h(x0)=
(1+lnx0)x0
x0−1=x0∈(3,4)
所以k<
(1+lnx)x
x−1对x∈(1,+∞)恒成立⇔k<h(x)min,
所以k≤3,整数k的最大值为3;
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题.
考点点评: 此题主要考查函数的恒成立问题,考查的知识点比较全面,是一道综合性比较强的题,导数是我们研究函数单调性的重要工具,每年都会考的热点问题;
1年前
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