（2012•山东）已知函数f(x)＝lnx+kex(k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数），曲线y=f（x）在

（Ⅰ）∵f′（x）=[1−kx−xlnx
xex，x∈（0，+∞），
且y=f（x）在（1，f（1））处的切线与x轴平行，
∴f′（1）=0，
∴k=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=
1
xex（1-x-xlnx），x∈（0，+∞），
令h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），
当x∈（0，1）时，h（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，
又e^x＞0，
∴x∈（0，1）时，f′（x）＞0，
x∈（1，+∞）时，f′x）＜0，
∴f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；
证明：（Ⅲ）∵g（x）=（x²+x）f′（x），
∴g（x）=
x+1
ex（1-x-xlnx），x∈（0，+∞），
∴∀x＞0，g（x）＜1+e^-2⇔1-x-xlnx＜
ex/x+1]（1+e^-2），
由（Ⅱ）h（x）=1-x-xlnx，x∈（0，+∞），
∴h′（x）=-（lnx-lne^-2），x∈（0，+∞），
∴x∈（0，e^-2）时，h′（x）＞0，h（x）递增，
x∈（e^-2，+∞）时，h（x）＜0，h（x）递减，
∴h（x）_max=h（e^-2）=1+e^-2，
∴1-x-xlnx≤1+e^-2，
设m（x）=e^x-（x+1），
∴m′（x）=e^x-1=e^x-e⁰，
∴x∈（0，+∞）时，m′（x）＞0，m（x）递增，
∴m（x）＞m（0）=0，
∴x∈（0，+∞）时，m（x）＞0，
即
ex
x+1＞1，
∴1-x-xlnx≤1+e^-2＜
ex
1+x（1+e^-2），
∴∀x＞0，g（x）＜1+e^-2．

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评： 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，切线的方程，是一道综合题．

1年前

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