平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6

解题思路：（1）利用点到直线的距离公式求出圆心O到直线x-y+1=0的距离，再由已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理求出圆O的半径，写出圆O的方程即可；
（2）设出直线l的截距式方程，由直线l与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，列出关系式，表示出DE的平方，将得出的关系式代入，整理后利用基本不等式求出DE平方的最小值，得到此时a与b的值，即可确定出此时直线l的方程；
（2）存在斜率为2的直线m，使m被圆O截得的弦为AB，以AB为直径的圆经过原点，理由为：假设存在，设直线m方程为y=2x+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将直线m与圆O方程联立组成方程组，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，且得到根的判别式大于0，由以AB为直径的圆过原点，得到

OA

⊥

OB

，即数量积为0，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理后将表示出两根之和与两根之积代入，得到关于b的方程，求出方程的解得到b的值，经检验满足题意，即可得到直线m的方程．

（1）∵圆心O到直线x-y+1=0的距离d=
1

2，直线截圆所得的弦长为
6，
∴圆O的半径r=
(
1

2)2+(

6
2)2=
2，
则圆O的方程为x²+y²=2；
（2）设直线l的方程为[x/a]+[y/b]=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，
∵直线l与圆O相切，∴圆心到直线的距离d=r，即
|ab|

a2+

点评：
本题考点： 圆的标准方程；直线与圆的位置关系．

考点点评： 此题考查了圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，平面向量的数量积运算法则，垂径定理，勾股定理，直线的截距式方程，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．