已知函数f(x)＝1nx，g(x)＝2−ax(a为实数）

解题思路：（Ⅰ）把a=1代入g（x）可以得到F（x），对其进行求导，求出极值点，研究其单调性，从而求出最小值；
（Ⅱ）不知道a的值，同样对F（x）进行求导，根据方程F（x）=f（x）-g（x）=0在区间[1，e²]上有解，说明F（x）=0，有解，分离常数可得a=2x-xlnx，令h（x）=2x-xlnx，利用导数研究函数h（x）的值域即可；
（Ⅲ）已知an＝2f(2n+1)−f(n)−f(n+1)，n∈N*，对其进行代入求出通项公式a_n，利用第一问的结论lnx≥1-[1/x]，利用此不等式进行放缩证明即可；

（Ⅰ）当a=1时，F（x）=f（x）-g（x）=lnx+[1/x]-2，
F′（x）=[1/x]+[−1
x2=
x−1
x2，令F′（x）=0，得x=1，
F（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，
所以F（x）的最小值为-1；
（Ⅱ）F（x）=f（x）-g（x）=lnx+
a/x]-2=0，x∈[1，e²]
∴a=2x-xlnx，h′（x）=2-1-lnx=1-lnx，
令h′（x）=0，解得x=e，列表，

∴a∈[0，e]；
（Ⅲ）设a_n=2f（2n+1）-f（n）-f（n+1）=2ln（2n+1）-lnn-ln（n+1）=ln
4n2+4n+1
n(n+1)
由（Ⅰ）知lnx≥1-[1/x]（当且仅当x=1时取等号），
∴a_n＞1-
n(n+1)
4n2+4n+1=[3/4]+[1/4][1
(2n+1)2＞
3/4]+[1/4][1
(2n+1)(2n+3)
=
3/4]+[1/8]（[1/2n+1]-[1/2n+3]），
S_n-
n

k＝1ak＞[3/4]n+[1/8]（[1/3]−
1
5+[1/5]-

点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；数列与函数的综合．

考点点评： 此题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值问题，第一问为特殊情况，第二问为一般情况带有参数，用到了常数分离法与转化的数学思想，是一道综合题；