在直角坐标平面中，O为坐标原点，二次函数y=-x2+（k-1）x+4的图象与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且S△

解题思路：（1）令x=0，即可求得点A的坐标，由△AOB的面积公式可求得OB的长，进而得到点B的坐标；
（2）把点B的坐标代入抛物线的解析式，可求得k的值，确定出抛物线解析式；
（3）若△ABP是等腰三角形，且点P在x轴上，故点P的位置有三种情况，由等腰三角形的性质分别求得即可

（1）由解析式可知，点A的坐标为（0，4）．（1分）
∵S_△OAB=[1/2]×BO×4=6
BO=3．所以B（3，0）或（-3，0），
∵二次函数与x轴的负半轴交于点B，
∴点B的坐标为（-3，0）；（2分）

（2）把点B的坐标（-3，0）代入y=-x²+（k-1）x+4，
得-（-3）²+（k-1）×（-3）+4=0．
解得k-1=-[5/3]．（4分）
∴所求二次函数的解析式为y=-x²-[5/3]x+4．（5分）

（3）因为△ABP是等腰三角形，
所以：①如图1，当AB=AP时，点P的坐标为（3，0）（6分）
②如图2，当AB=BP时，点P的坐标为（2，0）或（-8，0）（8分）
③如图，3，当AP=BP时，设点P的坐标为（x，0）根据题意，得
x2+42=|x+3|．
解得x=[7/6]．
∴点P的坐标为（[7/6]，0）（10分）
综上所述，点P的坐标为（3，0），（2，0），（-8，0），（[7/6]，0）．

点评：
本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 本题考查了抛物线与坐标轴的关系，等腰三角形的性质，注意当△ABP是等腰三角形时，点P的位置有三种情况．