求微分方程y″+y=f（x）满足初始条件y（0）=0，y′（0）=1的特解，其中连续函数f（x）满足条件sinx-f（x

解题思路：首先，从条件sinx-f（x）=

∫

x 0

tf（x-t）dt求出f（x）；然后求出微分方程y″+y=f（x）的特征根和齐次方程的通解；再根据f（x）和特征根，求出y″+y=f（x）的特解；最后根据初始条件y（0）=0，y′（0）=1，求出对应的特解．

令u=x-t，则du=-dt，因此

∫x0tf（x-t）dt=
−∫0x(x−u)f(u)du=x
∫x0f(u)du−
∫x0uf(u)du
∴sinx−f(x)＝x
∫x0f(u)du−
∫x0uf(u)du
两边对x求导，得
cosx−f′(x)＝
∫x0f(u)du
继续对x求导，得
-sinx-f″（x）=f（x）
即f″（x）+f（x）=sinx
这是二阶常系数非齐次线性微分方程
容易求得，其通解为：
f(x)＝C1cosx+C2sinx−
1
2xcosx
又由sinx−f(x)＝x
∫x0f(u)du−
∫x0uf(u)du，得f（0）=0，因此C₁=0
由cosx−f′(x)＝
∫x0f(u)du，得f′（0）=1，因此C2＝
3
2
∴f(x)＝
3
2sinx−
1
2xcosx
∴微分方程y″+y=f（x），即为y″+y＝
3
2sinx−
1
2xcosx
容易求出对应齐次方程的通解为：y=k₁cosx+k₂sinx
又y″+y＝
3
2sinx的特解为：y1＝−
3
4xcosx
y″+y＝−
1
2xcosx的特解为：y2＝−
1
8x2(cosx+sinx)
∴微分方程y″+y=f（x）的通解为：
y=k₁cosx+k₂sinx−
3
4xcosx−
1
8x2(cosx+sinx)
将y（0）=0，y′（0）=1，代入解得
k₁=0，k2＝
7
4
∴微分方程y″+y=f（x）的满足y（0）=0，y′（0）=1，特解为
y＝
7
4sinx

点评：
本题考点： 二阶常系数非齐次线性微分方程求解；积分上限函数及其求导．

考点点评： 此题考查变上限积分函数的导数求法和二阶非齐次常系数线性微分方程的求解，知识点并不复杂，但计算量有些大．